Introduzione
Alunni delle classi introdotte da più o meno tempo all’early algebra vengono educati, sin dalla prima primaria, ad affrontare in modi non convenzionali problemi tradizionali rappresentando un numero che non conoscono attraverso un simbolo e producendo quelle che abbiamo chiamato equazioni per gioco. Dal punto di vista operativo, la difficoltà per gli insegnanti che collaborano con il progetto ArAl è rappresentata dal fatto che la maggior parte dei libri di testo in uso propone quasi esclusivamente dei problemi verbali standard (quindi con un’impostazione procedurale) e questo diventa un notevole ostacolo per una didattica proiettata verso l’early algebra (quindi con un’impostazione relazionale). Da qui la scelta di dedicare uno spazio ai problemi verbali standard, con cui gli insegnanti devono confrontarsi quotidianamente, e alla loro trasformazione in problemi non standard. Le indicazioni e le attività riportate in questa sede sono state messe a punto da un gruppo di ricerca e in buona parte sono state sperimentate nelle classi che collaborano al Progetto ArAl. Ogni docente interessato a questo lavoro, a seconda delle competenze sue, della classe e dei propri obiettivi, potrà utilizzare queste trasformazioni sia per introdurre o rinforzare concetti sia per verificare il livello di acquisizione di competenze già costruite.
Sintetizziamo per punti la proposta didattica:
1.Tipologie di problemi
(A) il testo rimane invariato e cambia solo la consegna;
(B) il testo viene modificato sostituendo con un’incognita uno dei numeri che vi compaiono e attribuendo un valore, coerente con il testo, al risultato richiesto dalla consegna del testo originale.
(C) si applica la modifica del caso (B), in fasi successive, ad ogni ente del problema e si analizza come si modificano le diverse rappresentazioni in linguaggio matematico e cosa rimane costante;
(D) si modifica il testo in modo da trasformarlo in una generalizzazione del problema originale.
(E) problemi non esposti in veste verbale, ma attraverso un filmato.
2.Obiettivi
L’obiettivo principale dell’attività è a livello metacognitivo: mettere insegnante e alunni nella condizione di riflettere sulle differenze tra risolvere e rappresentare un problema e di capire come la ‘semplice’ modifica della consegna (Tipologia A), opportunamente gestita, possa indurre un cambiamento radicale nel modo in cui lo si affronta.
Per favorire tale riflessione, in un primo momento conviene che si mantengano entrambe le consegne, in modo da poterle confrontare: quella originale procedurale e la nuova, di taglio relazionale.
Per quanto riguarda le altre tipologie (B,C,D,E), se si lavora nell’area delle equazioni per gioco ci si potrà accontentare che gli alunni costruiscano, in un primo momento, delle ‘buone’ rappresentazioni e che successivamente trovino il valore dell’incognita utilizzando strumenti e strategie a seconda delle loro competenze e delle loro capacità di intuizione.
Per poter avviare l’attività, l’insegnante deve aver attivato la costruzione di competenze di base relativamente agli ormai familiari concetti fondativi. Dedichiamo a questo aspetto il prossimo paragrafo.
Per quanto riguarda la tipologia E, sul piano del metodo, prima di progettare un filmato è opportuno che l’autore (l’insegnante o anche un gruppo di alunni) definisca in modo chiaro la rappresentazione in linguaggio matematico (una delle sue possibili parafrasi) alla quale desidera che giungano coloro che affronteranno il problema, e che su questa base costruisca la sceneggiatura del video. Il controllo a posteriori della coerenza fra rappresentazione e video può costituire un momento pedagogico molto importante. Si suggerisce comunque che un video girato dagli alunni rimanga ad uso interno della classe; quello da inserire nella presentazione dovrebbe essere costruito dall’insegnante.
3.Competenze necessarie
Occorre aver affrontato con la classe:
a) il significato dei termini ‘linguaggio’ e ‘traduzione’;
b) cosa si intende per ‘linguaggio naturale’ e ‘linguaggio matematico’;
c) il significato relazionale del simbolo ‘uguale’;
d) ‘forma canonica’ e ‘forma non canonica’ di un numero;
e) il numero sconosciuto e la sua rappresentazione con l’uso della lettera. Simboli come il quadrato, il punto di domanda, ecc. per rappresentare il numero sconosciuto, espresso in linguaggio naturale mediante termini (es: ‘alcuni’) o locuzioni (es: ‘un numero imprecisato di… ’), dovrebbero essere ormai superati.
Sarebbe inoltre auspicabile che la classe avesse maturato esperienza con l’approccio alla soluzione di un’equazione attraverso le scene dinamiche (prima – terza primaria) o l’uso della bilancia a piatti (dalla quarta).
4.Competenze maturabili attraverso l’attività
Gli alunni dovrebbero maturare la capacità di:
a) individuare tutti gli enti del problema (quelli espliciti, quelli impliciti desumibili dal testo, l’ente sconosciuto);
b) comprendere le relazioni fra gli enti, indipendentemente dal fatto che essi siano noti o sconosciuti;
c) descrivere verbalmente la situazione con completezza, usando un linguaggio chiaro e termini appropriati;
d) elaborare rappresentazioni della situazione sia in linguaggio naturale sia in linguaggio matematico;
e) produrre traduzioni da un linguaggio all’altro;
f) interpretare e sottoporre a vaglio critico le rappresentazioni proprie e/o elaborate da altri per verificarne la correttezza, quindi:
g) cogliere analogie e differenze tra rappresentazioni diverse della stessa situazione e di riconoscere gli errori;
h) mettere in atto strategie risolutive attraverso l’applicazione di regole sintattiche e convenzioni matematiche (ad esempio: passare dalla bilancia a piatti all’equazione).
In generale, per favorire l’affinamento del livello della comunicazione in matematica, l’insegnante dovrebbe guidare gli alunni a migliorare la capacità di argomentare, spiegare e giustificare le proprie scelte, ascoltare e comprendere le proposte degli altri, confrontarle con le proprie, sostenerle o confutarle.
Un suggerimento relativamente ai punti a) e b): le voci ‘enti espliciti (noti e sconosciuti)’, ‘enti impliciti desumibili dal testo (o dal video)’ e ‘relazioni tra gli enti’ sono, in prima battuta, rivolte all’insegnante, che potrà decidere di negoziare o meno assieme alla classe il loro significato. Queste voci sono state differenziate per porre in evidenza tre livelli di difficoltà che comunque gli alunni incontreranno nell’affrontare questi problemi e che impareranno non solo a superare, ma a gestire autonomamente.
